aproksimasi terbaik;kuadrat terkecil

APROKSIMASI TERBAIK; KUADRAT TERKECIL

A. Aproksimasi Terbaik

Teorema Aproksimasi Terbaik

jika W adalah sub ruang berdimensi terhingga dari suatu ruang HKD, dan jika U adalah sebuah vector pada V, maka proj w u adalah aproksimasi terbaik bagi u pada W

u – projw u║ < ║u – w ║

Untuk setiap vector w pada W yang bukan proj w u.

Bukti: untuk setiap vector w pada W kita dapa menuliskan:

u – w = (u – projw)+  (projwu – w).

namun projw u- w, karena merupakan selisih dari dua buah vector pada W, terletak pada W; dan u – projwu orthogonal terhadap W, sehingga kedua suku pada sisi kanan  saling orthogonal. Dengan demikian, melalui teorema phythagoras.

‌‌                        u – w  ║2 =  ║u – projw u  ║2 +  ║projw u – w  ║2

Jika w ≠ projwu, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga

u – w  ║2 >  ║u – projw u ║2

Atau secara ekuivalen‌

║u- w ║ >  ║ u- projw u ║

A. Sejarah Kuadrat Terkecil

Teknik kuadrat terkecil dikembangkan secara bebas oleh A. M. Legendre dan Carl Friedrich Gauss. Makalah pertama pada subjek ini dipublikasikan oleh Legendre pada tahun 1806 meskipun secara fakta Gauss telah menemukan teknik ini ketika masih menjadi mahasiswa sembilan tahun lebih dulu dari makalah Legendre dan metode ini telah digunakan untuk perhitungan astronomi.

  1. Astronomi-orbit Ceres dari Gauss

Pada 1 januari 1801, astronom Italia, G. Piazzi menemukan asteroid Ceres. Sejumlah astronom terkemuka telah mempublikasikan makalah-makalah yang meramalkan orbit asteroid. Gauss juga mempublikasikan sebuah peramalan, tapi orbit yang diramalnya jauh berbeda dari ramalan-ramalan orang lain. Ceres direlokasikan oleh seorang pengamat pada 7 desember dan oleh yang lainnya pada 1 januari 1802. Di dalam kedua kasus posisinya hampir dekat dengan ramalan Gauss. Satu kunci kesuksesan Gauss adalah dia menggunakan metode kuadrat terkecil..

PENGERTIAN

Metoda Kuadrat Terkecil adalah salah satu metoda yang paling populer dalam menyelesaikan masalah hitung perataan.Model fungsional umum tentang sistem yang akan diamati harusditentukan terlebih dahulu sebelum merencanakan pengukuran. Modelfungsional ini ditentukan menggunakan sejumlah variabel (baik parametermaupun pengamatan) dan hubungan diantara mereka.

Teorema

Untuk sistem linier sebarang Ax = b, sistem normal yang terkait

ATAx = ATb

Bersifat konsisten, dan semua solusi dari sistem nomal dalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b. Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax = b, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

Projwb = Ax

Keunikan solusi kuadarat terkecil

Teorema 6.4.3

Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

(a) A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier.

(b) ATA dapat dibalik

Bukti.

(a) → (b). Dimisalkan bahwa A memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier. Matriks ATA memiliki ukuran  n x n, sehingga  dapat dibuktikan bahwa matriks ini dapat dibalik dengan menunjukkan bahwa sistem linier ATAx = 0 hanya memiliki solusi trivial. Akan tetapi, jika x adalh sebuah solusi dari sistem ini, maka Ax terletak pada ruang nul dari AT dan juga ruang kolom dari A.ruang-ruang ini adalah komplemen-komplemen orthogonal, sehingga bagian mengimplikasikan bahwa Ax=0. Namun A memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier, sehingga x = 0 .

Teorema

Jika A adalah sebuah matriks m x n memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier, maka untuk setiap matriks b, m x 1, sistem linier Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

x = (ATA)-1ATb

selanjutnya jika W adalah ruang kolom dari A, maka Proyeksi orthogonal b pada W adalah

projw b = Ax = A(ATA)-1 ATb

math’08 vs kimia’08

pertandingan bulu tangkis dalam rangka “Mipa Mipa Mencari Bakat”  yang memasuki babak final kemarin hari kamis tanggal 24 nov 2010 berlangsung sangat meriah …pertandingan diawali dengan tunggal putra antara mat’08dan kimia’08  yaitu k’rondy vs k’rizal dengan k’fadli mafia’07  sebagai junaedi ahmad Baca lebih lanjut…

Tutor MAPLE Turunan

Baca lebih lanjut…

tutor MAPLE

Baca lebih lanjut…

froPil KK2 Qt TElOve ne….


baCa yA ….

TAu Aja ne Bs jd motiVAsi Qt sMw….

n mayBE U the next……?????

PROFIL KETUA GAMATIKA PERIODE 2009-2010 Baca lebih lanjut…

Orang-Orang Terpintar di Indonesia dan di Dunia

|

OrangOrang Terpintar di Indonesia dan di Dunia

Baca lebih lanjut…

GAMATIKA FUTSAL TOURNAMENT

Posted on April 3, 2010. Filed under: GAMATIKA |

GAMATIKA FUTSAL TURNAMENT (GFC) adalah salah satu kegiatan yang dilaksanakan oleh keluarga besar mahasiswa Matematika, Fakultas MIPA-Universitas Mataram dalam rangka Dies Natalis GAMATIKA yang ke IV Baca lebih lanjut…